《视觉SLAM十四讲》互为反向的平移向量坐标值的关系
《视觉SLAM十四讲》第二版第三章3.1.2节 46页中写道“但是反过来的 \(t_{21}\) ，即从2指向1的向量在坐标系2下的坐标，却并不等于 \(-t_{12}\) ，而是和两个系的旋转还有关系。”
写一个简单的证明过程：
设世界坐标系为下标 \(w\) ，相机坐标系为下标 \(c\) ，有：
\(P_{w}=R_{wc}\cdot P_{c}+t_{wc}\) ————①
$P_{c}=R_{cw}P_{w}+t_{cw} $ ————②
由①移项，有：
\(P_{c}=R_{wc}^{-1}\cdot (P_{w}-t_{wc})=R_{cw}\cdot (P_{w}-t_{wc})\) ————③
比较②和③有：
\(t_{cw}=-R_{cw}\cdot t_{wc}\)
证毕。
其中， \(R_{wc}\) 为旋转正交矩阵，它的逆矩阵（也等于转置矩阵）描述了与 \(R_{cw}\) 相同的旋转。所以，
\(P_{c}=R_{wc}^{-1}\cdot P_{w}+t_{cw} =R_{wc}^{T}\cdot P_{w}+t_{cw}=R_{cw}\cdot P_{w}+t_{cw}\)
附一个解释该问题的博文